Программа специального курса

ТЕОРИЯ МАРТИНГАЛОВ

Глава 1. Теория мартингалов

1. Условные математические ожидания: определение, существование и единственность, свойства.
2. Мартингалы: дискретное и непрерывное время. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Определения и основные свойства. Примеры.
3. Разложение Дуба. Моменты остановки. Лемма о числе пересечений. Основные неравенства.
4. Теоремы сходимости. Равномерно интегрируемые мартингалы.

Глава 2. Броуновское движение

1. Гауссовские процессы.
2. Броуновское движение (винеровский процесс): определение и основные свойства.
3. Построение непрерывного броуновского движения.
4. Свойства траекторий: недифференцируемость траекторий броуновского движения, марковское свойство, закон повторного логарифма.

Глава 3. Введение в стохастическое интегрирование

1. Конструкция Ито стохастического интеграла. Свойства стохастического интеграла.
2. Формула замены переменных Ито.
3. Стохастические дифференциальные уравнения.

Литература

1. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
   
2. Gut A. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, New York, 2005.
   
3. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.
   
4. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1, 2. М.: Физматлит, 1994.
   
5. Kallenberg, O. Foundations of Modern Probability. Springer-Verlag, New York, 1997.
   
6. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1977.
   
7. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 2003.
   
8. Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х т. - М.: МЦНМО, 2004.

Лектор – к.ф.-м.н. Е. А. Бакланов