next up previous index
Next:  Гипотеза о среднем нормальной совокупности   Up:  Критерии согласия   Previous:  Критерий Стьюдента

8.8.   Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией

Имеется выборка ${\mathbf X}=(X_1, \ldots, X_n)$ из нормального распределения ${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$ с известной дисперсией $\sigma^2$. Проверяется простая гипотеза $H_1=\{a = a_0\}$ против сложной альтернативы $H_2=\{a \neq a_0\}$.

Построим критерий точного размера $\varepsilon$ с помощью функции отклонения $\rho({\mathbf X})$

\begin{displaymath}
\rho({\mathbf X})=\sqrt{n} \dfrac{\overline X-a_0}{\sigma}.\end{displaymath}

Очевидно свойство K1(a): если $H_1$ верна, то $\rho({\mathbf X})$ имеет стандартное нормальное распределение.

Упражнение.    Доказать свойство K1(б): если $a\neq a_0$, то $\lvert\rho({\mathbf X})\rvert \buildrel {p} \over \longrightarrow \infty$.


По $\varepsilon$ выберем $C=\tau_{1-\varepsilon/2}$ — квантиль стандартного нормального распределения. Тогда

\begin{displaymath}
\varepsilon={\mathsf P}\,\!_{H_1}(\lvert \rho({\mathbf X})\rvert \geqslant C).\end{displaymath}

Критерий выглядит как все критерии согласия:

\begin{equation}
\delta({\mathbf X})=\begin{cases}
 H_1, & \textrm{если }\lvert\...
 ...extrm{если }\lvert\rho({\mathbf X})\rvert\geqslant C.
 \end{cases}\end{equation}(28)

Упражнение.    Доказать, что этот критерий имеет точный размер $\varepsilon$ и является состоятельным.

Упражнение.    Построить критерий для различения трех гипотез: $H_1=\{a = a_0\}$, $H_2=\{a < a_0\}$ и $H_3=\{a \gt a_0\}$.


N.I.Chernova
9 сентября 2002