Next: Классическое вероятностное пространство Up: Оглавление

1. Операции над событиями

1.1. $AB\overline C=\{\textrm{выбранный студент --- юноша, который не курит и не живет в общежитии}\}$; а) все юноши не курят и не живут в общежитии; б) все, кто не живет в общежитии, не курят. Или: все курящие живут в общежитии; в) девушки, и только они, не курят; г) множество $\Omega$ пусто.

1.2. $\Omega=\{\textrm{(ГГГ)}, \textrm{(ГГР)}, \textrm{(ГРГ)}, \textrm{(ГРР)}, \textrm{(РГГ)}, \textrm{(РГР)}, \textrm{(РРГ)}, \textrm{(РРР)}\}$. $A=\{\textrm{(ГГГ)}, \textrm{(ГГР)}, \textrm{(ГРГ)}, \textrm{(РГГ)}\}$.

1.3. а) да; б) нет.

1.4. а) $A$ содержится и в $B$, и в $C$; б) $A$ содержит и $B$, и $C$.

1.5. а) $AC+B$, т.е. $(A\cap C)\cup B$; б) $A$; в) $AB$.

1.6. a) нет, $(A+B)\setminus C=(A\setminus C)+(B\setminus C)$; б) нет, $(\overline{A+B})C=\overline A\,\overline B\,C$; в) да; г) нет, $(A+B)\setminus A=B\setminus A$; д) нет, $\overline{A+B+C}=\overline A\,\overline B\,\overline C$; е) да; ж) нет, $AB(B+C)=AB$; з) да; и) нет, $(\overline{A+B})C=\overline A\,\overline B\,C$; к) да; л) да.

1.7. а) $A\,\overline B\,\overline C$; б) $A\,B\,\overline C$; в) $ABC$; г) $A\cup B\cup C$; д) $AB\cup AC\cup BC$; е) $A\,\overline B\,\overline C\cup B\,\overline A\,\overline C\cup C\,\overline A\,\overline B$; ж) $A\,B\,\overline C\cup \overline A\,B\,C\cup A\,\overline B\,C$; з) $\overline A\,\overline B\,\overline C$; и) $\overline A\cup\overline B\cup\overline C$.

1.8. а) $\bigcap\limits_{i=1}^n\overline A_i$; б) $\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$; в) $\bigcup\limits_{i=1}^n\Bigl(A_i\bigcap\limits_{j\ne i}\overline A_j\Bigr)$; г) $\bigcup\limits_{i=1}^n\bigcup\limits_{j=1}^n\Bigl(\bigcap\limits_{k\ne i,j}\overline A_k\Bigr)$; д) $\bigcup\limits_{i=1}^n\bigcup\limits_{j=1}^n \overline A_i\,\overline A_j$; е) $\bigcup\limits_{i=1}^n\bigcup\limits_{j=1}^n\Bigl(A_i\,A_j\bigcap\limits_{k\ne i,j}\overline A_k\Bigr)$.

1.9. $A\cup B\cup C=A\cup \bigl(B\setminus AB\bigr)\cup \bigl(C\setminus (AC\cup BC)\bigr)$.

1.10. Пусть $\omega\in\bigcap\limits_{i=1}^n A_i$. Тогда $\omega$ принадлежит каждому из $A_i$. Или, что то же самое, $\omega\not\in\overline A_i$ для любого $i$, т.е. $\omega$ не лежит ни в одном из множеств $\overline A_i$, и, стало быть, не лежит в их объединении $\omega\not\in\bigcup\limits_{i=1}^n\overline A_i$. Т.е. $\omega$ лежит в его дополнении $\omega\in\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n\overline A_i}$. Таким образом, мы доказали, что $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\subseteq\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n\overline A_i}$. В обратную сторону аналогично.

1.11. $B\cup C$, $B\cap C$.
Указание:  $\limsup\limits_{n\to\infty}A_n= \bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ -- событие, состоящее в том, что произойдет бесконечно много событий из $A_1$, $A_2$, ...; $\liminf\limits_{n\to\infty}A_n =\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$ -- событие, состоящее в том, что произойдут все $A_1$, $A_2$, ..., за исключением, возможно, лишь конечного числа.

1.12. а) Например, $1-\mathsf P\{\overline A\}-\mathsf P\{\overline B\}\le 1-\mathsf P\{\overline A\cup\overline B\}=\mathsf P\{AB\}\leqslant \mathsf P\{\Omega\}=1$.

1.13. Воспользуйтесь методом математической индукции.

1.14. Докажите, что $\mathsf P\left\{\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n\right\}\ge 1-\sum\limits_{n=1}^\infty \mathsf P\left\{\overline A_n\right\}$.


Natalia Chernova
2/8/2002