Далее: Применение различных интерпретаций вероятности Вверх: Оглавление Назад: Введение

Основные интерпретации понятия вероятности

В этой части рассматриваются история и логика определения различных интерпретаций вероятности, а также сразу дается критика и анализ введенных конструкций.



 

Классическая (или симметричная) интерпретация

Первоначальные понятия и методы теории вероятностей возникли из рассмотрения ситуаций, которые складываются в азартных играх. Такие игры и их правила организованы таким образом, чтобы различные исходы оказывались равновозможными. Так, например, при бросании игральной кости выпадение каждой грани является одинаково возможным. Исходя из условий равновозможности, легко подсчитать вероятность событий, встречающихся в азартных играх. Для этого нет непосредственной необходимости обращаться к непосредственному опыту. Если, например, игральная кость изготовлена тщательно, то вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равна 1/6. Такой подход к определению вероятности подробно излагается Якобом Бернулли в его работе «Искусство предложений».

Наиболее последовательно классическая интерпретация была разработана П.С. Лапласом в работе "Опыт философии теории вероятностей". Лаплас определяет вероятность как отношение числа благоприятных исходов, к числу всех возможных, при этом различные исходы считаются равновозможными.

Таким образом, определение вероятности, согласно классической концепции, не предполагает обращения к эмпирическому исследованию. Бросая игральную кость, мы заранее полагаем, что выпадение любой ее грани одинаково возможно. Именно в связи с этой особенностью классическую интерпретацию нередко называют априорной.

Считается, что классическая интерпретация, основанная на установлении равновозможности различных исходов событий, не свободна от логических дефектов и имеет довольно ограниченную область применения. Действительно, равновозможность событий куда как не просто гарантировать, и проверить на практике соблюдается ли условие равновозможности или нет, не представляется возможным. Понятие равновозможности относится скорее к области идеального, вымышленного.

Другим слабым местом этой теории является порочный круг в определении вероятности. Действительно, вероятность определяется через равновозможность, которая при более тщательном анализе оказывается тождественной с равновероятностью, которая в свою очередь уже предполагает наличие определения вероятности1.

Чтобы справиться с этими трудностями, защитники классической концепции широко использовали принцип недостаточного основания (принцип индифференции), согласно которому два события считаются (но могут таковыми и не являться) равновероятными, если не имеется основания для предположения, что одно из них осуществляется скорее, чем другое.

Обычно исследователи считают принцип индифферентности продолжением старой классической концепции. Однако, кажется разумным все же разделить старую концепцию и концепцию с принципом индифферентности.

Получается, что если в первой интерпретации равновероятность была атрибутом самого объекта события (например, игральной кости), то в следующей она уже описывает характер нашего знания (или незнания) об объекте. То есть первая модель будет идеальной и объективной, а вторая - субъективной и гносеологичной. Этот момент почему-то обычно ускользает от критиков.

Принцип индифферентности, хотя и весьма удобен для математического подсчета вероятностей, но имеет весьма ограниченное применение. Фактически он может быть применен только к таким явлениям, которые имеют симметричные исходы. Эта симметрия может быть установлена на основании логических или физических соображений. Таким образом, хотя, как мы увидели, что две модели классической интерпретации различаются друг от друга, тем не менее, обе они имеют общую базу, под названием симметрия. Только в первой модели симметрия считается атрибутом объекта, а во второй - является нашим знанием о нем.

Считается, что применение принципа недостаточного основания для оценки гипотез может привести к противоречивым результатам. Так, вероятность того, что во Вселенной существуют живые организмы, можно оценить как 1/2, так как у нас нет достаточных свидетельств в пользу противоположной гипотезы. Руководствуясь принципом индифференции, мы должны приписать такую же вероятность гипотезе о существовании во Вселенной разумных существ. Однако считается, что вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше. Получаем парадокс.

На самом деле, против таких рассуждений можно возразить следующее.

Для простоты допустим, что мы строго определили понятия "живой организм" и "разумное существо", и доказали, что это не одно и то же.

Если судить о вероятности как о числе, равному отношению количества благоприятных исходов и количества всех исходов, то совершенно не ясно, как определять вероятность для бесконечного (пусть даже и счетного) числа исходов. Так, например, притом, что делимость на 4 является более сильным условием, чем четность, тем не менее, количество четных чисел равно количеству чисел, кратных четырем. Далее, то что "вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше" утверждение такое же спорное, как и интерпретация вероятности в качестве степени разумной веры. Если даже и принять данное утверждение как истинное, то, в силу принципа индифферентности, мы не можем таким грубым способом подсчитывать вероятности событий. Получается, что если вероятность существования живых организмов равна 1/2, то про вероятность существования разумных существ мы уже так сказать не сможем, так как уже есть некоторые основания, а именно наше утверждение ("вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше"), усомниться в равновероятности исходов и мы должны полагать лишь, что вероятность второго события меньше чем 1/2. Если же мы положим вероятность второго события равным 1/2, то опять-таки для первого утверждения мы уже не можем пользоваться принципом индифферентности, так как есть основания, в виде нашего утверждения ("вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше"), что сия вероятность должна быть больше, чем 1/2.

Таким образом, мы разрешаем данный парадокс, будем считать его лишь неумелым использованием принципа индифферентности.

Но тут мы приходи к новой проблеме. С какого высказывания стоит проводить рассуждения при вычислении или оценке вероятности. С более вероятного или менее вероятного?

Думается, что единственным выходом в данной интерпретации является независимое вычисление вероятности, то есть строго по своему определению, в нашем примере это будет 1/2 в обоих случаях. Утверждения же типа "вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше" в данной модели рассматриваться не должны, ибо имеют другую природу.

Попробуем еще немного прояснить принцип индифферентности и понять границы его применимости.

Рассмотрим еще один классический пример критики принципа индифферентности. "Допустим, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо книги. Тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковы и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно" [3].

На самом деле, мы не имеем права так пользоваться принципом индифферентности. Наше знание о том, что есть и другие цвета, кроме черного и синего, а также о том, что существуют и книги других цветов, будет причиной тому, что у нас будут достаточные основания, чтобы не считать равновозможными варианты, когда книга синяя или не синяя. В действительности, согласно тому же принципу индифферентности, вероятность того, что книга окажется синей, следует подсчитывать по следующей схеме.

Необходимо подсчитать или оценить, каких цветов вообще бывают книги. Или если мы этого сделать не можем, то хотя бы подсчитать количество цветов вообще и сделать предположение, что книги могут иметь каждый из этих цветов. Далее, если у нас нет знаний о том, что какой цвет используется для книг чаще чем другие, то как раз здесь у нас и появляется возможность применить принцип индифферентности. Получаем, что искомая вероятность будет равна 1/N, где N - число цветов, которые могут иметь книги. Еще раз подчеркнем, что это всего лишь субъективная вероятность.

Если же мы не знаем вообще ничего о существовании различных цветов (то есть понятие цвета для нас будет просто непонятной функцией с неизвестной областью значений), то вопрос «А синяя ли та книга?» для нас будет эквивалентен вопросу «А глокая ли та куздра?». И совершенно очевидно, что если мы и представления не имеем ни о глокости, ни о куздрах, то вероятность (для нас) того, что эта куздра будет глокой, будет равна 1/2. Однако, специалист по глоким куздрам может знать, например, тот факт, что глокие куздры довольно редки в природе и потому оценит эту вероятность по-другому.

Из этого примера видно, насколько субъективны и неточны подобные рассуждения. Однако, в случае отсутствия любой полезной информации, нам придется иметь дело только с такой интерпретацией.

Следует сказать также пару слов о взаимосвязи классической теории вероятности и механического детерминизма, развивавшегося примерно в то же время. Характерны высказывания того же Лапласа.

"Ум, которому были бы известны для какого-либо момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверным, и будущее, так же как и прошлое, предстало бы перед его взором".

Таким образом, случайности отводится отнюдь не онтологическое место, а гносеологическое. Соответственно, вероятность события выступает не как объективная мера возможности события, а как характеристика знаний или даже веры человека.

Еще следует отметить, что классическая интерпретация говорит о вероятности отдельно взятого события (в то время как статистическая говорит о вероятности как о свойстве ряда событий).



Частотная (или статистическая) интерпретация.

Частотная, или статистическая, интерпретация вероятности уходит своими корнями еще в античную науку, хотя в явном виде эта концепция была разработана впервые в 1866 г. английским ученым Дж. Венном. Начиная с его работы «Логика случая», частотная интерпретация приобретает большую популярность среди статистиков. Что и не удивительно, так как большинство задач статистики нельзя свести к схеме равновозможных случаев, и, следовательно, использовать классическое определение вероятности.

Согласно частотной интерпретации, вероятность определяется через относительную частоту событий непосредственно, либо косвенным путем. Сам Венн определял вероятность как предел относительной частоты события при большом числе испытаний.

В качестве исходного понятия при этом берется относительная частота. Поскольку относительная частота определяется с помощью некоторой процедуры, то указанную вероятность нередко называют эмпирической.

Дальнейшее развитие эта интерпретации получила в 20-х годах в работах Р. Мизеса. Он существенно дополнил и изменил теорию Венна, и рассматривал теорию вероятностей как дисциплину, имеющую дело с бесконечными последовательностями результатов испытаний, удовлетворяющими специальным свойствам.

Сразу следует отметить, что никакого операционального определения для статистической вероятности дать нельзя, ибо помимо эмпирической процедуры при ее определении мы обращаемся к теоретическим допущениям.

Схематически процедура вычисления относительной частоты, служащей базой для статистической вероятности, такова: сначала очерчивают класс явлений, обладающих определенным свойством. Произведя опыты или наблюдая явление, мы можем подсчитать, сколько раз интересующее нас событие встречается в данной серии. Полученную относительную частоту можно считать оценкой истинной вероятности. Саму же вероятность подсчитать не удастся, так как она является пределом бесконечной последовательности относительных частот при увеличении объема выборки. Однако при достаточно большом объеме выборке считается, что относительная частота является хорошей оценкой вероятности.

Здесь справедлива аналогия с мгновенной скоростью. Мы не можем посчитать мгновенную скорость тела, мы не в состоянии ее даже оценить. Тем не менее, считается, что мгновенная скорость тела равна (или очень близка к) средней скорости тела за очень маленький промежуток времени. Однако, вполне вероятно, что движение тела состоит из крохотных квантов времени, в одни из которых тело стоит неподвижно, а в другие имеет сколь угодно большую (или даже бесконечную) скорость. В этом смысле определение мгновенной скорости является не более чем удобной договоренностью. Существует ли мгновенная скорость как метафизический объект и можно ли ее измерить - открытый вопрос.

Выше мы увидели, что вероятность является пределом последовательности относительных частот, однако существование этого предела теоретически не доказуемо и составляет серьезную проблему. На практике было установлено, что для многих массовых явлений относительная частота при большем числе наблюдений имеет тенденцию к устойчивости. Эта устойчивость частот массовых явлений представляет объективную закономерность, и поэтому она не зависит от воли и желания человека. Явления, обладающие устойчивой частотой, были известны еще в древнем мире и сейчас встречаются на каждом шагу - в вопросах страхования, демографии, в физической, биологической и социальной статистиках.

Практика показывает, что в случае возможности вычисления вероятности событий из соображений симметрии, то их относительная частота является весьма хорошей оценкой этой вероятности.

В общем же случае, когда точное значение вероятности из подобных соображений вычислить не удается, мы делаем индуктивное предположение о том, что относительная частота таких массовых, повторяющихся событий весьма близка к некоторому числу, которое и называют вероятностью. Таким образом, индукция совершенно необходима для частотной интерпретации, но поскольку всякая индукция есть выход за пределы известного, то этот шаг сопряжен с теоретическими трудностями.

Самая главная проблема частотной интерпретации - проблема тестификации. Как проверить, верно или не верно наше вероятностное суждение? В общем случае ни процедура верификации, ни процедура фальсификации здесь не работают.

Если рассматривать классы событий как множества конечной мощности, то тогда вероятностное суждение прямо бы говорило об арифметическом отношении мощностей двух классов. В таком случае вероятностное суждение верифицировалось бы простым предъявлением всех членов обоих классов и простым подсчетом.

Если же мы будем рассматривать бесконечные классы, либо бесконечное количество конечных статистических серий, то ни одно конечное число экспериментов не в состоянии ни окончательно подтвердить, ни окончательно фальсифицировать вероятностное суждение. Ибо нельзя теоретически исключать факта, что данная конечная серия произведенных экспериментов является флуктуацией, большим отклонением относительной частоты в данной серии от относительной частоты во всем бесконечном классе.

Единственным способом хоть какой-нибудь проверки правильности вычисления относительной частоты является неравенство Чебышева. Эта формула позволяет определить вероятность (опять-таки!) отклонения относительной частоты вычисленной по конечной серии от истинной. Причем это уже будет третья вероятность, вычисленная по аксиоматической интерпретацией и служащая нам в качестве четвертой - вероятности как степени разумной веры. Как видно, конструкция усложняется прямо на глазах...

Вторая важная проблема, связанная с частотной вероятностью, имеет логический характер. Очень трудно сформулировать условия, которым должны удовлетворять серии событий, чтобы к ним можно было применить частотную интерпретацию. Любые попытки сделать это приводили к жаркой полемике и вопрос этот и поныне открыт.

Разберем следующий пример. Каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем все числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю, так как число простых чисел меньших, либо равных n есть приблизительно n/log n, таким образом, относительная частота будет стремиться вместе с 1/log n к нулю. Но допустим теперь, что мы расставили целые числа в следующем порядке: сначала первые девять простых чисел, затем первое составное, затем вторые девять простых чисел, затем второе составное и т.д. Когда целые числа будут расставлены в такой последовательности, то шанс, что выбранное наудачу целое число - простое, будет равен 0.9. Можно расставить числа даже так, что бы этот шанс был равен 0.

Из этого примера можно сделать вывод, что частотная интерпретация должна применяться отнюдь не классам событий, а к их последовательностям.

В-третьих, нужно заметить, что частотная вероятность является характеристикой отношения между двумя классами событий и ни в коем случае не подходит в ситуации, когда мы имеем дело с неповторяющимися, единичными событиями. При таком истолковании теория вероятностей превращается в науку о количественных закономерностях массовых случайных явлений.



Аксиоматическая интерпретация

Данная интерпретация, имеет дело с идеальной математической реальностью. Существует масса аксиоматических теорий вероятности. Самая простая и вместе с тем общая теория была предложена А.Н. Колмогоровым в 1929 г., и является ни чем иным как частным случаем теории меры, опирающемся на понятия и методы теории множеств. В рамках аксиоматической теории само понятие вероятности не имеет развернутого определения. Оно рассматривается как не получившее определения исходное понятие, поставленное в условие системы аксиом.

Как и любая аксиоматика, данная интерпретация вероятности описывает формальные свойства этого понятия, но ничего не говорит о конкретной природе тех явлений, к которым применяется теория.

Собственно говоря, в данной интерпретации вероятность является функцией со значением в интервале от 0 до 1, определенной на некоторой сигма-алгебре событий и удовлетворяющей некоторым условиям. Однако, например, в действительности события могут и не составлять сигма-алгебру. Равно как и условия, накладываемые на функцию, на практике могут оказаться не верны.

Абстрактное понятие вероятности, хотя и является отображением определенных свойств эмпирически наблюдаемых частот, целиком не сводится к ним.

Тем не менее, математический аппарат теории вероятности широко и плодотворно применяется на практике в различных областях человеческой жизнедеятельности.



Вероятность как степень разумной веры

В 20-е годы с новой интерпретацией вероятности выступил известный английский ученый Дж. М. Кейнс. Критикуя классическую и частотную интерпретации, он стал рассматривать вероятность как степень разумной веры, которую мы приписываем высказыванию при точно фиксированных данных. «Термины достоверность и вероятность, - пишет он, - описывают различные степени разумной веры в высказывание, которое мы обязаны приписать ему при различном знании».

«Пусть наши посылки, - указывает Кейнс, - состоят из любого множества высказываний h, а наше заключение из множества a. Тогда, если знание h обосновывает разумную веру степени a, мы говорим, что существует вероятностное отношение степени a между h и a.

Таким образом, в интерпретации Кейнса, вероятность представляет логическое отношение между двумя множествами высказываний. Поэтому оно имеет аналитический характер, а не синтетический, эмпирический характер.

Важно отметить, что сам Кейнс подчеркивает объективный характер своей интерпретации вероятности. Хотя степень вероятности и меняется с изменением нашего знания, она характеризует отношение, независимое от сознания человека. «В смысле, важном для логики, - пишет Кейнс, - вероятность не субъективна. Она не является, так сказать, предметом человеческого каприза. Высказывание вероятно не потому, что мы думаем о нем так. Как только даны факты, которые определяют наше познание, то в этих обстоятельствах, что считать вероятным и невероятным, фиксируется объективно и не зависит от мнения. Теория вероятности является логической, таким образом, потому, что она имеет дело со степенью веры, которая является разумной при данных условиях, а не просто с фактической верой, которая может быть как разумной, так и не разумной».

Согласно Кейнсу, вероятности вообще не поддаются числовому измерению; те же вероятности, которые поддаются ему, образуют весьма частный класс вероятностей. Он считает, что одна вероятность не может сравниваться с другой, т.е. не может быть ни большей, ни меньшей, чем другая, ни может быть даже равной ей.

Добавим еще, что система вероятностной логики Кейнса получилась довольно громоздкой и неуклюжей.

Дальнейшее развитие данная концепция нашла в трудах английского геофизика Г. Джефриса. В своей фундаментальной монографии «Теория вероятностей» он доходит до полного отрицания частотной интерпретации, которой, по его мнению, в практической работе не пользуются сами статистики.

Заметим, что Поппер считает, что степень разумной веры характеризует не фактическую веру субъекта в высказывание, а некоторое логическое отношение между высказываниями. Она представляет иное название степени подтверждения, которое служит фундаментом современных теорий индуктивной логики.



Вероятность как степень доверия

Эта интерпретация, в отличие от предыдущей, рассматривает вероятностные высказывания как высказывания о действительных степенях веры субъекта в высказывание. Утверждение, в которое не верят полностью, но и не отвергают целиком, считается вероятным.

В явной форме эта интерпретация впервые была представлена английским ученым Ф.П. Рамсеем в книге «Основания математики».

Данная интерпретация удобна тем, что в ней непосредственно указывается практический способ вычисления вероятности. Так, например, Рамсей в качестве такого метода предложил систему, основанную на пари. Например, если заключается пари об утверждении, что «завтра будет дождь», то вероятность этого утверждения для меня оценивается наивысшей ставкой, которую я предлагаю в пари. Если ставки были соответственно 5:2, то вероятность будет равна 5/7. Данный метод хотя и имеет свои недостатки, но является базовой идей для дальнейшего развития других подобных методов.

Первый вопрос, возникающий в связи с субъективной вероятностью, касается практического применения этой концепции. Так, субъективная интерпретация находит плодотворное применение в теории решений. Можно сказать даже больше. Там, где мы имеем дело с прагматической оценкой деятельности человека, там мы неизбежно сталкиваемся с субъективной вероятностью.

Второй вопрос относится к определению места субъективной вероятности среди других ее интерпретаций. Известный итальянский ученый Бруно де Финнети считает субъективную вероятность единственно возможной, лежащей в основе всех других интерпретаций. Однако, если вслед за Финнети считать эту интерпретацию единственно допустимой в науке, тогда нельзя будет рационально объяснить существование устойчивости частот массовых явлений, которые служат основой для введения объективной или эмпирической интерпретации вероятности. Кроме того, субъективная вероятность не может объяснить многочисленные факты успешных предсказаний, которые делает современная наука, опираясь на статистические вероятностные представления.



Логическая интерпретация

Данная концепция трактует вероятность как характеристику суждения. Теорию логической вероятности наиболее полно изложил Р. Карнап в книге «Логические основания вероятности». В интерпретации Карнапа понятие вероятности рассматривается в качестве логической категории (категория индуктивной логики2); вероятность характеризует логическую связь между суждениями, а именно степень подтверждения гипотезы H данными свидетельствами E.

Таким образом, суждение «относительно данных E гипотезе H присуща вероятность p» является аналитическим, ибо оно ничего не говорит о мире, является независимым от эмпирической истинности E и H, хотя как E, так и H могут быть и преимущественно являются эмпирическими суждениями.

Например, относительно данных «в Париже насчитывается 5 миллионов жителей, в том числе 500 тысяч иностранцев» гипотезе «неизвестный нам гражданин, житель Парижа, является иностранцем» присуща вероятность 1/10.

Следует подчеркнуть, что в рамках этой концепции понятие вероятности не имеет ничего общего с понятием истинности. Приписывание гипотезе H степени вероятности p = 1 относительно каких-либо данных E не означает ее истинности, так как данные E могут быть ложными и тогда истинность гипотезы H логически не выводится, по той же причине вероятность p = 0 не означает ложности гипотезы H относительно данных E.

В этом отношении позиция Карнапа принципиальным образом отличается от взглядов Г. Райхенбаха, который интерпретирует вероятность суждений как степень (вес) их вероятности, а крайние значения вероятности (0 и 1) - как эквиваленты понятий ложь и истина. Между тем, согласно Карнапу, суждение «относительно данных E гипотеза H имеет вероятность p = 1» означает лишь то, что из данных обязательно следует (логически) гипотеза; в то же время суждение с вероятность равной 0 говорит лишь о том, что данные ни в коей мере не подтверждают гипотезу.

К недостаткам этой интерпретации, пожалуй, стоит отнести затруднение при количественной оценки степени подтверждения. Сам вопрос о возможности такой оценки спорен, хотя Карнап на него отвечает утвердительно.

Также критикуется и объективность данной интерпретации. Критики имеют ввиду следующее. Когда мы переходим от данных к гипотезе, то мы подразумеваем не любые данные, а данные, включающие все наши знания. Хотя и это утверждение спорно, но следующие рассуждения все же склоняют нас к некоторой не объективности Карнаповской интерпретации.

Понятие вероятности, согласно логической интерпретации, является категорией логики, а вероятностные суждения аналитическими, они ничего не говорят о мире - следовательно, не могут быть объективными, в том смысле, в каком объективны вероятностные суждения, в которых вероятность является категорией, характеризующей отношения между классами событий.



Диспозиционная интерпретация

Данная интерпретация предложена К. Р. Поппером в связи с переходом на индетерминистскую позицию в вопросах, касающихся микропроцессов. Согласно Попперу, вероятность не является свойством класса или серии событий, а определяет диспозиционные свойства некоторой опытной ситуации.

«Любая опытная ситуация может, если мы очень часто повторяем эксперимент, вызывать серию с частотами, зависимыми от данной конкретной ситуации. Эти частоты могут быть названы вероятностно. Но если вероятности оказываются в зависимости от опытной ситуации, то их можно трактовать и как свойство этой ситуации. Они характеризуют диспозицию этой ситуации, ее тенденцию вызывать определенные характерные частоты, когда эксперимент повторяется. Эта интерпретация отличается от частотной тем, что она трактует вероятность скорее как свойство физической ситуации, нежели как характеристику событий».

Поппер считает, что такая интерпретация позволяет говорить о вероятности единичных событий.

Диспозиционная интерпретация в отличие от статистической придает понятию вероятности онтологический статус, так как сама вероятность является неотъемлемым свойством той или иной объективной ситуации, не зависящей от нашего знания о ней.

«Диспозиционная интерпретация является метафизической. Точнее, она является метафизической в том же смысле, в каком метафизическим является понятие силы или поля сил в механике. Кроме того, она метафизична потому, что представляет собой программу физических исследований».

Сам Поппер связывал диспозиционную интерпретацию с позицией индетерминизма, однако, более поздние работы показали, что также возможна связь и с позицией детерминизма.



Примечания

1
Е.Т.: не исключено, что ранее равновозможность отождествлялась с другой интерпретацией вероятности - статистической.
2
Под индукцией Карнап понимает всякое умозаключение, в котором заключение не вытекает из посылок с логической необходимостью; индуктивная логика - раздел логики, который изучает такого рода умозаключения.