Программа вступительного экзамена в магистратуру экономического факультета НГУ по дисциплине «Высшая математика»
Вступительный экзамен по дисциплине «Высшая математика» состоит из письменной и устной (в форме собеседования) частей. Общая сумма баллов, которую можно набрать по экзамену – 100 баллов.
Устная часть экзамена (собеседование) содержит следующие тематические блоки
1. Образовательный бэкграунд – до 10 баллов
2. Мотивация к обучению на магистерских программах ЭФ НГУ, наличие исследовательских интересов, состояние исследований в интересующей области, профессиональный и практический опыт (при наличии), наличие идей для исследовательской и практической деятельности – до 30 баллов.
На письменной части экзамена, направленной на проверку общего уровня подготовки по высшей математике, можно набрать до 60 баллов.
ПРОГРАММА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ПИСЬМЕННОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Раздел 1: Линейная алгебра.
1. Векторы, матрицы и действия с ними. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства. Скалярное произведение.
2. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей. Разложение определителя по строке и по столбцу. Транспонированная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Специальные виды матрицы. Определители матриц специального вида.
3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
5. Собственные числа. Собственные векторы. Диагонализация матрицы.
6. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Критерии Сильвестра положительной (отрицательной) определенности (полу определенности) квадратичной формы.
Литература к разделу 1:
1. Кострикин И. А., Сенченко Д. В. и др., Пособие по линейной алгебре для студентов-экономистов. М., Изд-во МГУ, 1987
2. Малугин, В. А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: курс лекций: учеб. пособие для вузов по направлению "Экономика"/ В. А. Малугин М.: ЭКСМО, 2006 216 с.: ил. (Высшее экономическое образование) Библиогр.: с.211 ISBN 5-699-12627-9
3. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. Математика в экономике: учебник для студентов экономических специальностей высших учебных заведений: в 2 ч. М, Финансы и статистика, 2001г.
Раздел 2: Математический анализ.
1. Числовые последовательности. Предел последовательности. Основные свойства пределов последовательностей.
2. Функции одной переменной. Предел функции. Непрерывность функции.
3. Производная функции одной переменной. Исследование и построение графика функции.
4. Формула Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
5. Функции многих переменных. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Градиент функции. Производная по направлению. Матрица Гессе. Безусловный экстремум. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
6. Выпуклые функции и множества. Выпуклость квадратичных форм.
7. Оптимизация при наличии ограничений. Функция Лагранжа и ее стационарные точки. Теоремы Куна-Таккера. Окаймленный Гессиан. Условия второго порядка.
Литература к разделу 2:
1. Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа: учебник для студентов университетов и вузов. - М.: Высшая школа, 1981, в 2-х томах.
2. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н., Лекции по математическому анализу. М., «Высшая школа», 1999.
2. В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков, Микроэкономика – третий уровень Москва, ГУ – ВШЭ, 2008
3. Горюшкин А.А., Хуторецкий А.Б. Математические модели и методы исследования операций: курс лекций: Учеб. пос. Новосиб. национ. иссл. гос. ун-т / Новосибирск, 2013.
Раздел 3: Дифференциальные уравнения.
1. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Метод замены переменных. Уравнение Бернулли.
2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации постоянной.
3. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Устойчивость решения.
4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.
Литература к разделу 3:
1. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 2-е изд., переб. СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 2005.
2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6-е изд., стереотип. М.: URSS, 2001.
3. Дементьева Н.В. и др., Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной матрицы решений однородной системы с использованием корневого базиса. Учеб. пособие. 2008, изд-во: Изд-во НГУ, город: Новосибирск, стр.: 50 с
Раздел 4: Теория вероятностей.
1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и случайные величины. Функция распределения и функция плотности распределения. Совместное распределение нескольких случайных величин. Условные распределения.
2. Характеристики распределений случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация. Свойства математического ожидания, дисперсии и ковариации. Условное математическое ожидание.
3. Нормальное распределение и связанные с ним: хи-квадрат распределение, распределения Стьюдента и Фишера, их основные свойства. Квантили.
Литература к разделу 4:
1. Чернова Н.И. Теория вероятностей: учебное пособие : [для студентов экономических специальностей вузов] / Новосиб. гос. ун-т, Мех.-мат. фак., Каф. теории вероятностей и мат. статистики. 2-е изд., испр. Новосибирск : Редакционно-издательский центр НГУ, 2014. – 158 с. (Имеется электронная версия в Университетской библиотеке ONLINE)
2. Теория вероятностей для социологов и менеджеров: курс лекций / Г. Д. Ковалева, А. С. Липин; Федеральное агентство по образованию Российской Федерации, Новосибирский гос. ун-т, Экономический фак. - Новосибирск : НГУ, 2010. - 74 с.
3. Шведов, А. С. Теория вероятностей и математическая статистика: промежуточный уровень: учеб. пособие / А. С. Шведов; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — М.: Изд. дом Высшей школы экономики, 2016.
Раздел 5: Математическая статистика.
1. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение и выборочные характеристики: среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции.
2. Статистическое оценивание. Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Интервальные оценки. Уровень доверия.
3. Статистические выводы и проверка статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень доверия, уровень значимости, мощность критерия и р-значение теста. Проверка значимости.
4. Классическая линейная регрессия. Статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия) оценок параметров. Теорема Гаусса-Маркова.
5. Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии и его следствия. Доверительные интервалы оценок параметров и проверка гипотез об их значимости. Статистические характеристики качества регрессии.
Литература к разделу 5:
1. Чернова Н.И. Математическая статистика : учебное пособие : [для студентов экономических специальностей вузов по специальности 080100 "Экономика"] / Новосиб. гос. ун-т, Мех.-мат. фак., Каф. теории вероятностей и мат. статистики. 2-е изд., испр. Новосибирск : Редакционно-издательский центр НГУ, 2014. – 148 с
2. Ковалёва Г.Д., Липин А.С. Математическая статистика для социологов и менеджеров : курс лекций / [отв. ред. Г.М. Мкртчян] ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск, 2009. – 94 с.
3. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия: Учебное пособие. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005. - 744 с.
