next up previous contents index
Next:  Центральная предельная теорема   Up:  Центральная предельная теорема   Previous:  Как быстро среднее арифметическое

§ 2. Слабая сходимость

Пусть задана последовательность случайных величин , задано некоторое распределение с функцией распределения и пусть — произвольная случайная величина, имеющая распределение .
Определение 53. Говорят, что последовательность случайных величин сходится слабо или по распределению к случайной величине и пишут: , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость

при .

Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Замечание 25. Необходимо заметить, что запись удобна, но не всегда разумна: если «предельную» величину заменить на другую величину с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле . Поэтому слабая сходимость всё же не есть сходимость случайных величин, и ею нельзя оперировать как сходимостями п.н. и по вероятности, для которых предельная случайная величина единственна (с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).

Поэтому в определении 53 часто говорят и пишут так: слабо сходится к распределению , т.е. , либо даже так: распределения слабо сходятся к распределению : .

Следующее свойство очевидно. Если нет — нужно вернуться в главу 6 и вспомнить, что такое функция распределения.
Свойство 19. Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то . Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место сходимость , то .
Вместо открытого интервала можно взять , или .

Следующее свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 20.
1.
Если , то .
2.
Если , то .
Итак, сходимость по вероятности влечёт слабую сходимость. Обратное утверждение в общем случае смысла не имеет (см. замечание 25). Однако из слабой сходимости к постоянной вытекает сходимость по вероятности.
Доказательство. Свойство (1) мы докажем чуть позже.

Докажем (2): слабая сходимость к постояннной влечёт сходимость по вероятности. Пусть

при любом , являющемся точкой непрерывности предельной функции , т.е. при всех .

Возьмём произвольное и докажем, что . Раскроем модуль:

поскольку в точках и функция непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательностей: к  и к .

Осталось заметить, что не бывает больше 1, так что по свойству предела зажатой последовательности .

QED

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям  — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.
Замечание 26. Желание написать «если и , то » сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое «функция распределения суммы », когда вместо них можно брать любые другие и с теми же распределениями, как угодно зависимые. Иное дело — когда одно из предельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммы или произведения определена (найти!) однозначно.
Свойство 21.
1.
Если и , то .

2.
Если и , то .
Доказательство. Нелюбознательный читатель может пропустить это доказательство, вернувшись к нему при втором прочтении.

Заметим вначале, что если , то и (доказать!). Поэтому достаточно доказать первое утверждение свойства 21 при , а второе утверждение — при .

Рассмотрим второе утверждение, оставив первое любознательному читателю. Пусть и . Докажем, что тогда .

Пусть — точка непрерывности функции распределения . Требуется доказать, что имеет место сходимость . Зафиксируем достаточно маленькое такое, что непрерывна в точках . Воспользуемся тем, что события и образуют полную группу:

Оценим сверху и снизу. Для имеем:

и последняя вероятность может быть выбором сделана сколь угодно малой. Для , с одной стороны,

Неравенство следует из очевидного соображения: если и , то, тем более, .

С другой стороны,

Здесь первое неравенство объясняется включением

которое получилось заменой в событии числа на меньшую величину . Второе неравенство следует из свойств:

Мы получили оценки снизу и сверху для , т.е. для :

или

Устремляя к бесконечности, и вспоминая, что — точки непрерывности функции распределения , получим

И поскольку эти неравенства верны для любого достаточно малого такого, что функция распределения непрерывна в точках (множество точек разрыва у любой функции распределения не более чем счётно, и таких можно найти сколько угодно в любой окрестности нуля), а — точка непрерывности функции , то, устремив к нулю, получим, что нижний и верхний пределы при совпадают и равны .

QED

Доказательство утверждения (1) из свойства 20. В качестве простого следствия из только что доказанного второго утверждения свойства 21 покажем, что сходимость по вероятности влечёт слабую сходимость .

Представим в виде суммы . Здесь последовательность по вероятности стремится к нулю, а «последовательность» слабо сходится к . Поэтому их сумма слабо сходится к .

QED

Получим, в качестве следствия свойства 21, ещё одно полезное утверждение. Такого типа утверждения принято именовать теоремами непрерывности. Чтобы не путаться, а также для удобства ссылок, назовём его «теоремой о двойном пределе». 

Теорема о двойном пределе.  Пусть , причём функция распределения случайной величины непрерывна всюду, и пусть — числовая последовательность. Тогда .
Доказательство. В формулировке теоремы мы, краткости ради, использовали запись , которую следует понимать так: , .

Если , то утверждение теоремы сразу следует из свойства 21. Действительно, из следует, что . К тому же . Тогда утверждение (2) свойства 21 позволяет заключить, что . Функция распределения отличается от лишь сдвигом и тоже непрерывна всюду, поэтому имеет место сходимость функций распределения в любой точке. В частности, в точке  = 0 имеет место сходимость при

Пусть теперь . Нужно доказать, что .

По определению, с ростом , если для всякого найдётся номер такой, что для всех выполнено неравенство: . В силу монотонности функций распределения, . В точке —, как и в любой иной точке, имеет место сходимость функций распределения . Выбором величина может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. Тем самым верхний предел последовательности оказывается зажат между нулём и сколь угодно малой величиной, т.е. равняется нулю.

Случай проверяется аналогично.

QED

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределённых случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.


next up previous contents index
Next:  Центральная предельная теорема   Up:  Центральная предельная теорема   Previous:  Как быстро среднее арифметическое

N.Ch.