14 сентября пройдет научный семинар «Математические проблемы геофизики»

Рассматриваются три обратные задачи отыскания неизвестной функции u и неизвестного младшего коэффициента k в эллиптическом уравнении

Mu + kr(u) = -div(M(x) grad u) + m(x)u + kr(u) = f,
(две из них – для линейного уравнения при r(u) = u) с граничными данными различного типа и интегральным условием переопределения на границе исследуемой области. Также исследуются условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к решению одной из этих задач. Оператор M предполагается сильно эллиптическим и самосопряженным.

Основными результатами работы являются теоремы существования и единственности сильного обобщенного решения исходных задач, а также достаточные условия непрерывной зависимости решений этих задач от исходных данных. Кроме того, к основным результатам относятся достаточные условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к сильному решению соответствующей стационарной обратной задачи для эллиптического уравнения с интегральным условием переопределения на границе.

Существование и единственность доказываются методом, суть которого состоит в продолжении данных с границы в область и сведении обратной задачи к операторному уравнению Ak = k второго рода, для неизвестного коэффициента k.

Практический интерес к данным задачам обусловлен тем фактом, что в многочисленных приложениях коэффициенты исходного уравнения характеризуют физические свойства среды: проницаемость, теплопроводность и так далее. В рассмотренных задачах неизвестным является коэффициент поглощения.