Во вторник, 7 ноября, в 16:20 в аудитории 5234 НГУ состоится очередное заседание семинара по геометрическому анализу.
Докладчик: Владимир Николаевич Дубинин, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН.
Название доклада: Граничное искажение и производная Шварца однолистной функции в круговом кольце.
Аннотация:
Вопросам граничного поведения конформных отображений посвящено немало работ. В данной лекции представлены доказательства новых теорем искажения для голоморфных однолистных и ограниченных в круговом кольце функций, сохраняющих одну из его граничных компонент. В частности, устанавливаются неравенства, включающие производную Шварца в граничной точке кольца. Исследования различных классов голоморфных функций в кольце, проводимые до1966 года, достаточно полно представлены в «добавлении» к книге Г.М.Голузина. Развитие применяемых при этом методов отражены также в обзоре Г.В.Кузьминой. В современной литературе рассматриваются, как правило, функции, заданные в односвязных областях, а более сложный случай кольца изучен в меньшей степени. Отметим значительные результаты А.Ю.Солынина при изучении голоморфных функций в двусвязной области. Наша лекция дополняет исследования, начатые в работе, с целью показать эффективность применения емкостного подхода и симметризации к получению теорем искажения для однолистных в кольце функций. В качестве экстремальной функции будет выступать n-кратно симметричная функция Гретша, отображающая круговое кольцо на другое круговое кольцо с n симметричным радиальным разрезами. Используя только простейшие свойства конформной емкости, мы доказываем довольно общую теорему о произведении степеней модулей производных однолистной функции в граничных точках кольца. Стандартными заключениями этот результат влечет за собой теорему искажения для голоморфных отображений круга в себя. Последняя содержит некоторые неравенства из работ. Привлекая наш ранний результат о произведении внутренних радиусов взаимно неналегающих областей в круговом кольце, мы устанавливаем верхнюю оценку для геометрических средних модулей производных в симметричных граничных точках кольца. Нижняя оценка для средних арифметических таких модулей получена с помощью симметризации. В заключение мы приводим доказательства оценок Шварциана в граничных точках кольца, которые являются далеко идущим продолжением исследований, инициированных известной теоремой Бернса-Кранца о жесткости голоморфных отображений круга в себя. Лекция построена по материалам недавней статьи, написанной в ходе выполнения исследовательских работ в Математическом Центре в Академгородке.
