23 июня прошла защита кандидатской диссертации Евгения Игоревича Шефера

23 июня 2021 г. в Диссертационном совете Д 003.015.01 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН состоялась защита кандидатской диссертации Евгения Игоревича Шефера «Асимптотический анализ распределения времени пребывания случайного блуждания в области умеренно больших уклонений». Диссертация выполнена под научным руководством доктора физико-математических наук, профессора Игоря Семеновича Борисова по специальности 01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика.

Основные результаты диссертации посвящены асимптотическому анализу распределения случайной величины τn(xg) — времени пребывания траектории классического случайного блуждания S1,...,Sn выше уровня xg(·) для достаточно широкого класса функций g(·), определяющих конфигурацию граничного уровня, при условии, что x = x(n) при n → ∞ неограниченно возрастает со скоростью, соответствующей зоне умеренно больших уклонений. При выполнении условия Крамера на распределение скачка случайного блуждания получены точные асимптотические соотношения при n → ∞ для математического ожи- дания Eτn(xg), а в случае g(·) ≡ 1 и для хвоста распределения P {τn(x) ≥ y} при любом фиксированном y.

Кроме того, получен ряд оценок скорости сходимости в законе арксинуса для классического случайного блуждания. При этом для простейшего сим- метричного случайного блуждания эти оценки неулучшаемые, что позволило получить асимптотическое представление для хвоста распределения времени пребывания траектории указанного случайного блуждания выше удаляющего- ся прямолинейного уровня x со скоростью, соответствующей всему диапазону умеренно больших уклонений. Для более общего случайного блуждания соот- ветствующее асимптотическое представление удалось доказать для несколько более узкой зоны уклонений. Вопрос о распространении последнего результата на всю зону умеренно больших уклонений пока остается открытым.

В качестве перспективного исследования можно выделить поиск асимптоти- ки хвоста распределения P {τn(xg) ≥ y} в случае гладкой криволинейной гра- ницы, которая определяется функцией g(·).