Группа выпускников НГУ, сотрудников лаборатории нелинейной фотоники НГУ — Игорь Чеховской, Ольга Штырина, Михаил Федорук, Сергей Медведев и Сергей Турицын — опубликовали в одном из самых престижных журналов в области физики Physical Review Letters, импакт-фактор которого составляет 8.839, статью «Nonlinear Fourier transform for analysis of coherent structures in dissipative systems».
Работа посвящена новому приложению метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), также известного как нелинейное преобразование Фурье (NFT — nonlinear Fourier transform). Исследования ученых НГУ Владимира Захарова и Алексея Шабата в 1970-е годы показали, что с помощью МОЗР можно проинтегрировать одну из основных моделей нелинейной физики — нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), для чего нужно решить так называемую спектральную задачу Захарова-Шабата (ЗЗШ). Новый метод по аналогии с обычным преобразованием Фурье позволяет упростить анализ и свести сложную нелинейную динамику к простой эволюции в определенном базисе — так называемом нелинейном спектре сигнала. Применение NFT, в отличие от обычного преобразования Фурье, подразумевает нахождение непрерывного и дискретного спектра оператора ЗЗШ. Возвращаясь к примеру с НУШ: дискретный спектр здесь будет описывать солитонную часть сигнала, а непрерывный — вклад в сигнал дисперсионных волн.
Отличие обычного преобразования Фурье от NFT можно проследить на образном примере волнения на море. Преобразование Фурье дает зависимость амплитуды волн от их длины, что называется спектром, в то время как NFT дает возможность определить не только спектр волнения, но также позволяет определить наличие «кораблей на море», то есть солитонов. По аналогии можно сказать, что NFT позволяет определить относительную величину волнения. Если волнения мало, то «корабли» (солитоны) хорошо видны, а если волнение сильное, то NFT позволяет обнаружить и определить их движение.
Применение NFT к интегрируемым гамильтоновским уравнениям, таким как НУШ, хорошо изучено и представляет классическую область математической физики. В данной работе авторами на примере уравнения Гинзбурга-Ландау (УГЛ) был исследован потенциал его применения к диссипативным неинтегрируемым системам. Хотя NFT не может быть использовано для решения таких систем, авторами было показано, что эволюция оптического сигнала, подчиняющегося УГЛ, может быть с хорошей точностью описана с помощью конечного числа переменных с использованием NFT в тех случаях, когда дискретная составляющая спектра оператора ЗЗШ для соответствующего НУШ является доминирующей. Это соответствует случаям, когда отношение энергии сигнала, связанной с дискретным спектром, к полной энергии близко к единице.
Таким образом, показано, что NFT может выступать в качестве метода, который позволяет уменьшить количество эффективных степеней свободы, когда в динамике оптического сигнала преобладают когерентные структуры, такие как солитоны, даже когда их эволюция протекает неустойчиво. Проведен анализ стационарных решений УГЛ, представляющих собой диссипативные солитоны, и найдены области параметров данных решений, когда подход к описанию динамики на основе NFT применим.
На представленном рисунке слева изображена эволюция импульса, а справа — эволюция непрерывного и дискретного спектра. Хорошо видно, что при распространении начальный оптический импульс переходит в устойчивое асимптотическое состояние, которое может быть описано с большой точностью всего тремя точками в дискретном спектре. Энергия дисперсионных волн, соответствующих непрерывному спектру, мала по сравнению с дискретным спектром.
По словам ученых, предложенный подход может дать новые возможности для исследования сложного лазерного излучения, которое состоит из смеси когерентных импульсов и дисперсионных волн.
.jpg "Четыре команды студентов НГУ вошли в число победителей и призеров онлайн-соревнований TechArena Siberian Challenge-2024")
