Мини-курс лекций «Ограниченное порождение групп Шевалле, и вокруг»

В курсе будет рассказано об ограниченном порождении групп точек алгебраических групп над коммутативными кольцами, в первую очередь, кольцами арифметического типа. Будут обсуждаться: 

• элементарная ширина,
• ширина в коммутаторах,
• вербальная ширина в общем случае.

Мы напомним основные определения, постановку задачи и несколько классических результатов об элементарной ширине (Картер, Келлер, Тавгень, Моррис и др.), относящихся к числовому случаю. А также результаты о коммутаторной и вербальной ширине в случае полей и других нульмерных колец (вокруг проблемы Оре, результаты Шалева и учеников Любоцкого и т.д.).

После этого планируется рассказать о недавних результатах об элементарной ширине, полученные в самые последние годы Никой, Кунявским, Плоткиным, докладчиком, Тростом, Рапинчуком, Сури, Морганом, Лавреновым, и другими — в функциональном случае, для ранга 1 и в некоторых других ситуациях, улучшение оценкок и т.д. — и описать несколько основных идей, используемых в их доказательствах (трюк Тавгеня, стабилизация, символы Меннике и т.д.). Эти результаты являются новыми уже для SL(n,F_q[t]) и Sp(2l,F_q[t]).

Кроме того, будут рассказаны результаты Степанова и других о ширине коммутаторов в случае произвольных коммутативных колец и частичные результаты в таком духе для более общих слов. Планируется также упомянуть о связи с дальнейшими задачами такого типа (конгруэнц-проблема и т.д.) и теорией моделей и сформулировать несколько открытых проблем в этой области.